در علوم پايه و همچنين علوم مهندسي، با بسياري از کميت‌ها برداري. آناليز برداري در واقع زبان رياضي است که به ما کمک مي کند تا بتوانيم چنين کميت‌هايي را توصيف کنيم.

نمايش هندسي بردار

بردار با يک پاره‌خط جهت‌دار نمايش داده مي‌شود. در نمايش هندسي بردار، هرچه طول پاره‌خط بزرگ‌تر باشد اندازه بردار بزرگ‌تر است و برعکس.

بردارها از قوانين آناليز برداري (مانند جمع برداري و ضرب برداري) تبعيت مي‌کنند که در ادامه به‌اختصار در مورد آن بحث مي‌شود.

جمع بردارها به روش هندسي

جمع بردارها به دو روش هندسي و تحليلي انجام مي‌شود.

 جمع هندسي چند بردار به دو طريق امکان‌پذير است:

 1- روش مثلثي 2- روش متوازي‌الاضلاع

روش مثلثي يا چندضلعي

شکل 2-1 جمع دو بردار به روش مثلثي

در اين روش ابتدا بردار اول يعني.  رسم مي‌شود و از انتهاي بردار اول بايد هم سنگ بردار دوم يعي را رسم کرده، به‌گونه‌اي که ابتداي بردار دوم بر انتهاي بردار اول منطبق باشد، سپس از انتهاي بردار دوم هم سنگ بردار سوم يعني رسم مي‌شود.

اين روند را تا آخرين بردار بايد ادامه داد، درنهايت براي رسم بردار برآيند، کافي است ابتداي بردار اول به انتهاي بردار آخر وصل شود.

 روش متوازي‌الاضلاع

شکل2-2 جمع دو بردار به روش متوازي الضلاع

در اين روش، از نقطة دلخواهي مثل o هم سنگ دو بردارِ موردنظر رسم مي‌شود، به‌گونه‌اي که ابتداي دو بردار بر نقطة o منطبق باشد، سپس يک متوازي‌الاضلاعي فرضي مطابق با شکل 2-2 تشکيل مي‌دهيم. بردار برآيند قطر متوازي‌الاضلاع است که از نقطة o رسم شده است.

اندازه دو بردار از رابطه زير بدست مي آيد:

که A و B  اندازه دو بردار و X  زاويه بين دو بردار مي باشد.

حال اگر هر دو بردار هم‌جهت باشند يعني 0=X  باشد، آنگاه بردار برآيند تقويت‌شده طوري که اندازه اين بردار با جمع اندازه دو بردار برابر مي‌شود و اگر دو بردار در جهت خلاف يکديگر باشند يعني 180=X مي باشد، بردار برآيند تضعيف مي‌شود يعني اندازه بردار برآيند برابر با تفاضل اندازه دو بردار است. اين مورد را مي‌توان در مورد علم و ايمان انسان‌ها شبيه‌سازي کرد، به‌طوري‌که برآيند علم و ايمان را مي‌توان انسانيت در نظر گرفت. حال اگر هر دو در يک‌جهت باشند، ضريب انسانيت بيشتر است و الا ممکن است برآيندش صفر باشد.[1]بنابراين مي‌توان گفت بردار برآيند يا بردار حاصل جمع، برداري است که از جمع برداري چند بردار نتيجه شود و به‌تنهايي اثر مجموع آن بردارها را داشته باشد و مي‌تواند جايگزين آن‌ها شود.

شکل 2 - 3 شمايي از حرکت مورچه کاتاگليفيس

يکي از پديده‌هاي بسيار شگفت‌انگيز که در طبيعت وجود دارد و به نظر مي‌رسد که مبحث جمع برداري در آن دخيل است، عملکرد مورچه‌اي به نام کاتاگليفيس فورتيس[2] هست. با نگاه به عملکرد اين مورچه که در ادامه به آن اشاره مي‌شود، آشکارا به عظمت طراح و خالق آن‌ که خداوند متعال است پي مي‌بريم.

مورچه‌هاي کاتاگليفيس فورتيس که در شکل 2-3 نشان داده شده است، در بيابان وسيعي در آفريقاي شمالي به نام صحرا زندگي مي‌کنند، در اين مکان هيچ بوته يا شاخة درختي وجود ندارد و از شن‌هايي پر شده است که در اثر وزيدن باد، فوري جابه‌جا مي‌شوند. در روز آفتاب آن‌قدر سوزان است که اين مورچه‌ها فقط تا حدود يک ساعت قادرند تا از لانه‌هاي خود خارج شوند.

بر اساس تحقيقات پرفسور ونر[3] در دانشگاه زوريخ اين مورچه‌ها مي‌توانند دماهايي را تحمل کنند که حشرات ديگر نمي‌توانند. آن‌ها از روي شن‌ها عبور مي‌کنند و به جست‌وجوي حشراتي مي‌پردازند که از فشار ناشي از گرما جان خود را ازدست‌داده‌اند. هر مورچه در مسير زيگزاگي حرکت مي‌کند، اما به‌محض اينکه يکي از آن‌ها موفق شد که جسد آن حشرة کوچک را پيدا کند، بايد بلافاصله پيش از اينکه خودش از گرما بميرد به خانه بازگردد؛ اما در راه بازگشت همان حرکت زيگزاگي مسير رفت را دنبال نمي‌کند زيرا زمان بسيار زيادي را براي اين مورچه هدر مي‌دهد، به‌جاي آن، اين مورچه يک مسير مستقيم را به سمت خانه خود طي مي‌کند.

در حقيقت مورچه کاتاگليفيس مسير رفت را در حرکت‌هاي زيگزاگي به سمت راست و چپ مي‌پيمايد، هر زمان که اين مورچه مسير خود را تغيير مي‌دهد، سر خود را بلند مي‌کند و مي‌چرخاند تا بتواند آفتاب را تحمل کند.

به‌علاوه بايد اين مورچه طول مسيري را که روي هر خط مستقيم حرکت کرده است به ياد بسپارد. هنگام بازگشت به خانه، مورچه بايد تمام اين داده‌ها را جمع برداري کند و مسير مستقيم تا لانه را بيابد تا بتواند در زمان کوتاهي قبل از اينکه در اثر حرارت آفتاب از بين برود به خانه بازگردد.[4] طبق تحقيقات ورنر اين مورچه از سيستم ناوبري بسيار پيشرفته‌اي کمک مي‌گيرد. وي با توجه به مطالعات فيزيولوژي عصبي و با کمک شبيه‌سازي کامپيوتري و رباتيکي متوجه شده که اين مورچه به ازاي چند سانتي‌متري که پيش مي‌رود به کمک يک نوع قطب نماي عصبي زاويه را مشخص کرده و همچنين به کمک يک کيلومتر شمار عصبي فاصله طي شده را در ذهن ذخيره مي‌کند. درنهايت به کمک جمع برداري برآيند کل بردارها را به دست مي‌آورد.

حال اينکه اين مورچه که کل جرمش حدود 10 گرم و جرم مغزش 1/0 گرم است چگونه مي‌تواند برآيند تعداد زيادي بردار را به کمک مغز کوچک خود محاسبه کند، فقط ناشي از قدرتي است که خداوند در وجود چنين موجودي نهاده است.

ضرب بردارها

دو بردار را نمي‌توان مانند دو عدد در هم ضرب کرد بلکه طبق قرارداد دو روش براي ضرب دو بردار وجود دارد که در روش اول  نتيجه يک عدد است و در ديگري يک بردار جديد حاصل مي‌شود. در ادامه و با توجه به اينکه قرار است مطالب درسي بر اساس وجود گريز يا پيوند فرهنگي ارائه شود، فقط به يک نوع ضرب اشاره مي‌کنيم.

ضرب داخلي يا ضرب نقطه‌اي يا ضرب اسکالر

دو بردار در هم ضرب داخلي مي‌شود و نتيجه يک عدد به دست مي‌آيد. تعريف حاصل‌ضرب داخلي دو بردار عبارت است از:

در رابطه بالا A و B بزرگي دو بردار و زاويه بين دو برادرهستد.

 درواقع حاصل‌ضرب داخلي دو بردار را مي‌توان به‌صورت بزرگي يکي از بردارها (A) در مؤلفه يا تصوير بردار دوم در امتداد بردار اول () بيان کرد. 

همان‌گونه که از شکل2-4 مشخص است، تصويربردار دوم در امتداد بردار اول يعني  به زاويه بين دو بردار بستگي دارد. اگر  باشد در آن صورت اين تصوير در جهت بردار اول يعنيقرار مي‌گيرد.

در حالت خاص اگر  باشد اندازه تصوير بيشترين مقدار را دارد و اگر

 باشد اندازه تصوير صفر است.

 و درصورتي‌که  باشد آنگاه تصويربردار دوم در جهت مخالف بردار اول قرار مي‌گيرد.

انسان در مسير زندگي خود پستي‌وبلندي‌هاي زيادي دارد. گاهي با اعمال و کردار نيک به کمال و رستگاري نزديک شده و گاهي با رفتار نادرست به گمراهي ميل مي‌کند. مسير زندگي همان طول مسير طي شده توسط شخص در دوران زندگي هست. حال اگر فرض کنيم که برآيند تمام رفتارهاي شخص در طول مسير زندگي با يک بردار نشان داده شود که شروع آن مبدأ زندگي (تولد) و انتهاي آن پايان زندگي (مرگ) باشد، آن را بردار زندگي مي‌ناميم.

شکل 2-4 دو بردار و زاويه ميان آن‌ها

 در شکل 2-5 الف صفحه زندگي شبيه‌سازي‌شده است، در آن محور قائم، محور کمال انسان در نظر گرفته‌شده است که جهت مثبت محور، بردار زندگي انسان کامل و جهت منفيِ محور، بردار زندگي انسان کاملاً گمراه فرض مي‌شود. همچنين در شکل محور افقي را زمان در نظر مي‌گيريم.

مطابق شکل 2-5 الف اگر بردار به بردار مسير زندگي انسان کامل و بردار  را بردار زندگي شخص تشبيه کنيم، طول تصوير بردار  زندگي در امتداد بردار کمال که همان امتداد مثبت محور قائم است، مؤيد زندگي طي شده در راستاي رسيدن به کمال هست،   همان مقدار کمال کسب‌شده توسط شخص در طول عمر خود است. هر چه زاويه بردار زندگي با بردار کمال يا امتداد قائم کمتر باشد ميزان کمال به‌دست‌آمده بيشتر و درنتيجه انسان به خدا نزديک‌تر مي‌شود. اگر زاويه بردار زندگي با محور قائم زاويه بين 90 تا 180 در جه داشته باشد يعني اعمال بد انسان بر اعمال نيک غلبه کند در اين صورت مطابق شکل 2-5 ب بردار زندگي در امتداد منفي محور قائم که همان جهت گمراهي است قرار مي‌گيرد.

شکل 2-5 الف صفحه زندگي

از طرفي اگر زاويه بردار زندگي نسبت به بردار کمال 90 درجه باشد انسان در مسير زندگي نه به کمال نزديک مي‌شود و نه به گمراهي چراکه تصوير بردار زندگي همواره در امتداد محور کمال صفر است. به اين‌گونه اشخاص محجورين مي‌گويند، مانند اطفال غير مميز و نرسيده به تکليف و اشخاص مجنون، زيرا اين‌گونه افراد در طول زندگي روي محور افقي حرکت مي‌کنند اما نه به سمت کمال مي‌روند و نه به سمت گمراهي.

به عنوان مثال مسير زندگي سه نفر به نام‌هاي سعيد، حميد و وحيد در شکل 2-6 نشان داده شده است. تصوير بردار زندگي سعيد و وحيد در امتداد محور زمان يکسان بوده اما در امتداد محور قائم طول تصوير بردار زندگي سعيد بيشتر از وحيد هست. به عبارتي سعيد و وحيد هر دو به يک اندازه عمر کرده‌اند ولي عملکرد سعيد بهتر از وحيد بوده و رستگارتر شده است. مقايسه بردار زندگي سعيد و حميد نشان مي‌دهد که اگر‌چه طول عمر سعيد کمتر از حميد بوده اما مسير کمال را بيشتر طي کرده است.

شکل 2-5 ب صفحه زندگي (بردار مسير زندگي فرد گمراه)

بر همين اساس پيامبران و امامان و اولياء خدا بيشترين استفاده را از وقت خود نموده و وقت‌گذراني بيهوده را از گناهان بزرگ مى‏شمردند.

امام حسين g مي‌فرمايند:

«در بهره‌برداري از فرصت‌هاي خوب شتاب کنيد و براي رسيدن به اهداف عاليه بر يکديگر سبقت بگيريد.»[5]

مولي اميرالمؤمنين g مي‌فرمايند:

«از دست دادن فرصت‌هاي خير، براي انسان ماية غم و اندوه است.»[6]

پيامبر گرامي اسلام a مي‌فرمايند:

«کسي که يک دري از خير به رويش باز شد آن را غنيمت بشمارد زيرا نمي‌داند چه وقت به روي او بسته خواهد شد؟»[7]

شکل2-6  مقايسه مسير زندگي وحيد، حميد و وحيد

[1]. به قول شهيد مطهري: «آيا علم به چيزي مي‌خواند و ايمان به چيز ديگري ضد آن؟ علم ما را به‌گونه‌اي مي‌خواهد بسازد و ايمان به‌گونه‌اي مخالف آن؟ علم ما را به سويي مي‌برد و ايمان به سويي ديگر؟ يا علم و ايمان متمّم و مکمّل يکديگرند، علم نيمي از ما را مي‌سازد و ايمان نيمي ديگر را هماهنگ با آن؟ پس ببينيم علم به ما چه مي‌دهد و ايمان چه؟ علم به ما روشنايي و توانايي مي‌بخشد و ايمانْ عشق و اميد و گرمي؛ علم ابزار مي‌سازد و ايمان مقصد؛ علم سرعت مي‌دهد و ايمان جهت؛ علم توانستن است و ايمانْ خوب خواستن؛ علم مي‌نماياند که چه هست و ايمان الهام مي‌بخشد که چه بايد کرد؛ علم انقلاب برون است و ايمان انقلاب درون؛ علم جهان را جهان آدمي مي‌کند و ايمان روان را روان آدميت مي‌سازد؛ علم وجود انسان را به‌صورت افقي گسترش مي‌دهد و ايمان به شکل عمودي بالا مي‌برد؛ علم طبيعت ساز است و ايمان انسان‌ساز. هم علم به انسان نيرو مي‌دهد، هم ايمان؛ اما علم نيروي منفصل مي‌دهد و ايمان نيروي متصل. علم زيبايي است و ايمان هم زيبايي است؛ علم زيبايي عقل است و ايمان زيبايي روح؛ علم زيبايي انديشه است و ايمان زيبايي احساس. هم علم به انسان امنيت مي‌بخشد و هم ايمان؛ علم امنيت بروني مي‌دهد و ايمان امنيت دروني. علم در مقابل هجوم بيماري‌ها، سيل‌ها، زلزله‌ها، طوفان‌ها ايمني مي‌دهد و ايمان در مقابل اضطراب‌ها، تنهايي‌ها، احساس بي‌پناهي‌ها، پوچ‌انگاري‌ها. علم جهان را با انسان سازگار مي‌کند و ايمان انسان را با خودش.» (برگرفته‌شده از کتاب مجموعه آثار استاد شهيد مطهري، ج 2، ص 32).

[2].  Cataglyphis.

[3]. Prof. Dr. Rüdiger Wehner.

[4]. مباني فيزيک، ج1(مکانيک و گرما) ، ص 57.

[5]. «نافِسوا في‌المكارِمِ، و سارِعوا في ‌الـمَغانم» (بحارالانوار، ج 78، ص 355).

[6]. «اِضاعَةُ الفُرصَةِ غُصَّةٌ.» (نهج‌البلاغه، کلمة 114).

[7]. «مَنْ فُتِحَ لَهُ بَابُ خَيْرٍ فَلْيَنْتَهِزْهُ فَاِنَّهُ لايَدْرِي مَتَي يُغْلَقُ عَنْهُ» (بحارالانوار، ج 77، ص 165).