تعریف تابع: فرض کنید A و B دومجموعه هستند. f را تابعی از A به B گویند اگر به هر عضو از مجموعه A (به عنوان دامنه تابع) یک عضو منحصر به فرد از مجموعه B (به عنوان برد تابع) نسبت دهد. به عبارت دیگر، تابع، ضابطه‌ای است از یک دامنه به یک برد به طوری که به هر عضو از دامنه دقیقاً یک عضو از برد اختصاص می‌دهد.

برای تابع می‌توان مثال‌های زیادی در زندگی روزمره ذکر کرد.

مثال1: اعمالی که در قرآن ثواب و عقاب آن مشخص شده است، می‌توانند دامنه تابعی باشند که برد آن ثواب و عقاب آن اعمال است.

توضیح آنکه در قرآن برخی اعمال ذکر و برای آن ثواب یا عقاب مشخص شده است، مانند:

- کشتن پیامبران و نسبت دادن فقر به خدا، [1]

- خوردن مال یتیم،[2]

- قرض دادن،[3]

- انفاق بدون منت،[4]

- کظم غیظ و عفو مردم[5]،

- عذاب کتمان آنچه خدا نازل کرده،[6]

- قتل و زنا،[7]

- خوردن مال مردم به باطل[8]،

- بازداشتن از راه خدا،

- جمع اوری طلا ونقره و خرج نکردن در راه خدا. [9]

تذکر: تابع مثال 1 در واقع همان تابع دلتای کرونکر است.

مثال2: برای اعمال خیر و شر، مصادیق متعددی وجود دارد. به عنوان مثال، از امام علیA روایت شده است که: کمک مالی کردن به برادر دینی، روزی را زیاد می‌کند[10]. در این حدیث، «کمک مالی به برادر دینی» در دامنه تابع و «زیاد شدن روزی» حاصل عمل تابع است.

مثال 3: اگر کسانی را که قبل از اسلام آوردن به محضر پیامبرJآمدند و به قرآن گوش فرا می‌دادند، به عنوان ورودی و تعالیم قرآن و پیامبر را به عنوان تابع در نظر بگیریم، خواهیم دید خروجی که هدایت یافتگی و درجه ایمان شخص است، بستگی به خود او دارد. یعنی اگر با نیت حق‌پذیری و موعظه‌پذیری در محضر قرآن و پیامبر J قرار گرفته باشد به هدایت و اطاعت می‌رسد و اگر با حالت لجاجت به سراغ قرآن و پیامبر J آمده باشد، به گمراهی و مخالفت می‌رسد.

در واقع خروجی یک تابع بستگی به مقداری دارد که به عنوان ورودی به تابع می‌دهیم. تابع y=x3  را در نظر بگیرید، اگر به این تابع عدد 2 بدهیم عدد 8 دریافت می‌کنیم و اگر عدد 5 بدهیم عدد 125 دریافت می‌کنیم و قرار نیست عدد دیگری مثلاً عدد 300 را دریافت کنیم.

مثال4: «یوصِیكُمُ اللَّـهُ فِی أَوْلَادِكُمْ  لِلذَّكَرِ مِثْلُ حَظِّ الْأُنثَیینِ فَإِن كُنَّ نِسَاءً فَوْقَ اثْنَتَینِ فَلَهُنَّ ثُلُثَا مَا تَرَكَ  وَإِن كَانَتْ وَاحِدَةً فَلَهَا النِّصْفُ وَلِأَبَوَیهِ لِكُلِّ وَاحِدٍ مِّنْهُمَا السُّدُسُ مِمَّا تَرَكَ إِن كَانَ لَهُ وَلَدٌ فَإِن لَّمْ یكُن لَّهُ وَلَدٌ وَوَرِثَهُ أَبَوَاهُ فَلِأُمِّهِ الثُّلُثُ  فَإِن كَانَ لَهُ إِخْوَةٌ فَلِأُمِّهِ السُّدُسُ مِن بَعْدِ وَصِیةٍ یوصِی بِهَا أَوْ دَینٍ آبَاؤُكُمْ وَأَبْنَاؤُكُمْ لَا تَدْرُونَ أَیهُمْ أَقْرَبُ لَكُمْ نَفْعًا فَرِیضَةً مِّنَ اللَّـهِ إِنَّ اللَّـهَ كَانَ عَلِیمًا حَكِیمًا وَلَكُمْ نِصْفُ مَا تَرَكَ أَزْوَاجُكُمْ إِن لَّمْ یكُن لَّهُنَّ وَلَدٌ فَإِن كَانَ لَهُنَّ وَلَدٌ فَلَكُمُ الرُّبُعُ مِمَّا تَرَكْنَ مِن بَعْدِ وَصِیةٍ یوصِینَ بِهَا أَوْ دَینٍ وَلَهُنَّ الرُّبُعُ مِمَّا تَرَكْتُمْ إِن لَّمْ یكُن لَّكُمْ وَلَدٌ فَإِن كَانَ لَكُمْ وَلَدٌ فَلَهُنَّ الثُّمُنُ مِمَّا تَرَكْتُم مِّن بَعْدِ وَصِیةٍ تُوصُونَ بِهَا أَوْ دَینٍ وَإِن كَانَ رَجُلٌ یورَثُ كَلَالَةً أَوِ امْرَأَةٌ وَلَهُ أَخٌ أَوْ أُخْتٌ فَلِكُلِّ وَاحِدٍ مِّنْهُمَا السُّدُسُ فَإِن كَانُوا أَكْثَرَ مِن ذَلِكَ فَهُمْ شُرَكَاءُ فِی الثُّلُثِ مِن بَعْدِ وَصِیةٍ یوصَى بِهَا أَوْ دَینٍ غَیرَ مُضَارٍّ  وَصِیةً مِّنَ اللَّـهِ وَاللَّـهُ عَلِیمٌ حَلِیمٌ؛ خداوند به شما در باره فرزندانتان سفارش مى‌كند: سهم پسر، چون سهم دو دختر است. و اگر [همه ورثه، ] دختر [و] از دو تن بیشتر باشند، سهم آنان دو سوم ماترك است؛ و اگر [دخترى كه ارث مى‌برد ]یكى باشد، نیمى از میراث از آنِ اوست، و براى هر یك از پدر و مادر وى [=متوفى‌] یك ششم از ماترك [مقرر شده‌] است، این در صورتى است كه [متوفى‌] فرزندى داشته باشد. ولى اگر فرزندى نداشته باشد و [تنها] پدر و مادرش از او ارث برند، براى مادرش یك سوم است [و بقیه را پدر مى‌برد]؛ و اگر او برادرانى داشته باشد، مادرش یك ششم مى‌برد، [البته همه اینها] پس از انجام وصیتى است كه او بدان سفارش كرده یا دَینى [كه باید استثنا شود]. شما نمى دانید پدران و فرزندانتان كدام یك براى شما سودمندترند. [این ]فرضى است از جانب خدا، زیرا خداوند داناى حكیم است. و نیمى از میراث همسرانتان از آنِ شما [شوهران‌] است اگر آنان فرزندى نداشته باشند؛ و اگر فرزندى داشته باشند یك چهارم ماترك آنان از آنِ شماست، [البته‌] پس از انجام وصیتى كه بدان سفارش كرده‌اند یا دَینى [كه باید استثنا شود]، و یك چهارم از میراث شما براى آنان است اگر شما فرزندى نداشته باشید؛ و اگر فرزندى داشته باشید، یك هشتم براى میراث شما از ایشان خواهد بود، [البته‌] پس از انجام وصیتى كه بدان سفارش كرده‌اید یا دَینى [كه باید استثنا شود]، و اگر مرد یا زنى كه از او ارث مى‌برند كلاله [=بى‌فرزند و بى‌پدر و مادر] باشد و براى او برادر یا خواهرى باشد، پس براى هر یك از آن دو، یك ششم [ماترك‌] است؛ و اگر آنان بیش از این باشند در یك سوم [ماترك‌] مشاركت دارند، [البته‌] پس از انجام وصیتى كه بدان سفارش شده یا دَینى كه [باید استثنا شود، به شرط آنكه از این طریق‌] زیانى [به ورثه‌] نرساند. این است سفارش خدا و خداست كه داناى بردبار است.»

فرض كنیم شخصی فوت كرده و ورّاث وی فقط مادر، 2 پسر و 2 دختر وی هستند. اگر ارثیه این شخص A تومان باشد، با توجه به اینکه مادر یک ششم و هر پسر از باقیمانده، دو برابرِ دختر ارث می‌برد، تابعی كه به هر یك از ورّاث میزان ارث او را نظیر می‌كند تابع زیر است:

پس اگر ارثیه هفتاد و دو میلیون تومان باشد 12 میلیون به مادر وی، 10 میلیون تومان به هر دختر و 20 میلیون تومان به هر پسر می‌رسد.

مثال5:  فرض کنید فردی با A  ریال دارایی فوت می‌کند. وارثان این شخص مادر، همسر و یک فرزند دختر و یک فرزند پسر است. اگر فرد متوفی ثلث اموالش رابرای صرف در امور خیریه وصیت کرده باشد. میزان اختصاص ارث به هریک از بازماندگان، تابعی از نسبت فرد با فرد متوفی است. در این مثال، با خارج کردن3/A ریال از اموال متوفی 2A/3 ریال بین وارثان تقسیم می‌شود. از این مقدار 6/1 به مادر 8/1 به همسر می‌رسد[11] و باقیمانده به نسبت 1و2 بین دختر وپسر تقسیم می‌شود به عبارت دقیق تر مادر متوفی  A/9 ریال و همسر A/12  ریال و فرزند دختر  17A/108 و فرزند پسر دو برابر فرزند دختر یعنی  17A/54ریال دریافت می‌کند.

در حقیقت بین افراد خانواده میزان ارث را به صورت یک تابع می‌توان تعریف کرد که دامنه آن مجموعه افراد خانواده و برد آن نیز می‌تواند مجموعه اعداد حقیقی (یا اعداد طبیعی) باشد. ضابطه تابع به صورت زیر است:

برای مطالعه بیشتر:

مثال6: طبق محاسبات نجومی، هر ماه قمری (زمان یک دور کامل گردش ماه به دور زمین) 29 روز و 12 ساعت و 44 دقیقه و سه ثانیه یا 53059028/29 روز است. برای سادگی محاسبات، ما یک ماه قمری را 5/29 روز در نظر می‌گیریم. در این صورت سن قمری هر شخص، تابعی از سن شمسی  با ضابطه زیر است که x  سن شمسی شخص است:

به عنوان مثال فردی که 8 سال سن شمسی دارد، سن قمری او برابر با

سال است.

تابع فوق یک تابع یک به یک و پوشا است، بنابراین وارون‌پذیر نیز هست. در صورتی که ضابطه وارون تابع پیدا شود، می‌توان با مشخص بودن سن قمری شخص، سن شمسی وی را تعیین کرد. این تابع برای محاسبه سن بلوغ که به صورت سن قمری است قابل استفاده است. ناگفته نماند یکی از معیارهای تعیین بلوغ، سن است که در دختران 9 سال و در پسران 15 سال قمری است.

(این نمودار مربوط به تابع تبدیل سن شمسی به قمری است).

برای مطالعه بیشتر:

مثال7: آیا عدد 4 برای ورودی هر تابعی مناسب است؟ قطعا پاسخ منفی است. عدد 4 انتخاب مناسبی برای تابع y=(2-x)2  است اما برای تابع y=(2-x)1/2  انتخاب کاملاً اشتباهی است چون عدد 4 در دامنه این تابع قرار ندارد.

انتخاب همسر مناسب نیز وابسته به شرایط و ضوابط حاکم بر زندگی ما است، پس بهتر است در این انتخاب حساس بیشتر از چشمان به تدبیر و اندیشه والدینمان که ضوابط و شرایط حاکم بر زندگی ما را بهتر از هر کسی می‌دانند اعتماد کنیم. شرط موفقیت ازدواج تناسب زوجین و کفویّت آنها است. (این مثال صرفا یک تشبیه و گریز است).

[1] ـ آل عمران آیه  181: قطعاً خدا سخن كسانى را كه گفتند: «خدا نیازمند است و ما بى‏نیازیم»، شنید. به زودى آنچه را گفتند، و [نیز] كشتن پیامبران را به ناحق [در پرونده اعمالشان‏] مى‏نویسیم، و [روز قیامت‏] گوییم: عذاب سوزان را بچشید.

[2] ـ نساء آیه  1: بى‏تردید كسانى كه اموال یتیمان را به ستم مى‏خورند، فقط در شكم خود آتش مى‏خورند، و به زودى در آتش فروزان در آیند.

[3] ـ الحدید آیه  11: كیست كه به خدا وامى نیكو دهد تا خدا آن را براى او دو چندان كند و او را پاداشى نیكو و باارزش باشد؟

[4] ـ بقره آیه  262: كسانى كه اموال خود را در راه خدا انفاق مى‌كنند، سپس در پى آنچه انفاق كرده‌اند، منّت و آزارى روا نمى‌دارند، پاداش آنان برایشان نزد پروردگارشان [محفوظ] است، و بیمى بر آنان نیست و اندوهگین نمى‌شوند. كسانى كه اموالشان را در راه خدا انفاق مى‏كنند، سپس منت و آزارى به دنبال انفاقشان نمى‏آورند، براى آنان نزد پروردگارشان پاداشى شایسته و مناسب است، و نه بیمى بر آنان است و نه اندوهگین مى‏شوند.

[5]ـ سوره آل عمران، آیه 134: کسانی که خشم خود را فرو می برند و مردم را مورد عفو قرار می دهند... (جزایشان مغفرت و بهشت از جانب خداوند است).

[6]ـ  بقره آیه  174: قطعاً كسانى كه آنچه را خدا از كتاب [تورات و انجیل به عنوان حلال و حرام‏] نازل كرده [به سود خود از بى‏سوادان یهود و نصارى‏] پنهان مى‏كنند، و در برابر این پنهان كارى بهاى اندكى به دست مى‏آورند، جز آتش به شكم‏هاى خود نمى‏ریزند. و خدا روز قیامت با آنان سخن نمى‏گوید، و [از گناهان و زشتى‏ها] پاكشان نمى‏كند، و براى آنان عذابى دردناك است.

[7] ـ فرقان آیه  68: (بندگان خاص خدا کسانی هستند که... ) معبود دیگرى را با خدا نمى‏پرستند، و كسى را كه خدا خونش را حرام كرده است، جز به حق نمى‏كشند، و زنا نمى‏كنند؛ و كسى كه این اعمال را مرتكب شود به كیفر سختى برسد.

[8] - سوره نساء آیه  10: بی گمان کسانی که اموال یتیمان را به ستم می خورند، جز آتش در شکم های خود فرو نمی برند.

[9] ـ توبه آیه  34 : اى اهل ایمان! یقیناً بسیارى از عالمان یهود و راهبان، اموال مردم را به باطل [و به صورتى نامشروع‏] مى‏خورند و همواره [مردم را] از راه خدا بازمى‏دارند؛ و كسانى را كه طلا و نقره مى‏اندوزند و آن را در راه خدا هزینه نمى‏كنند، به عذاب دردناكى مژده ده.

[10]ـ گزیده میزان الحکمه، ص 283.

[11] ـ در صورتی که متوفی فرزند داشته باشد، همسر او 8/1 و اگر فرزند نداشته باشد، همسرش 4/1 از او ارث می‌برد.