نمونه 3- مطلب درسی: تابع یک به یک و پوشا
1401/09/29 14:03فصل قبل
تعریف تابع یک به یک: تابع f
از مجموعه X به مجموعه Y را یک به یک گوییم، هرگاه برای هر x1,x2∈Df
وقتی f(x1)=f(x2)
داشته باشیم x1=x2
به طور معادل x1≠x2
نتیجه می‌دهد f(x1)≠f(x2)
.
مثال1: اگر تابع f از مجموعه انسان‌ها به اثر انگشت آنها را در نظر بگیریم. این تابع، یک تابع یک به یک است زیرا فرض این است که هر دو انسان متفاوت اثر انگشت متفاوت دارند.
همانگونه که خداوند در قرآن کریم می‌فرمایند: «أَیحْسَبُ الْانسان أَلَّنْ نَجْمَعَ عِظَامَهُ بَلَى قَادِرِینَ عَلَى أَنْ نُسَوِّی بَنَانَهُ[1]؛ آیا انسان می‌پندارد که هرگز استخوان‌های او را جمع نخواهیم کرد؟!آری قادریم که (حتی خطوط سر) انگشتان او را موزون و مرتب کنیم! »
تعریف تابع پوشا: تابع f از مجموعه X به مجموعه Y را پوشا گوییم، هرگاه برای هر y∈Y
عضوی مانند x∈X
موجود باشد که f(x)=y
.
مثال2: تابعf از اعمال انسان‌ها به آنچه در قیامت به آنها می‌رسد یک تابع پوشا است. به عبارتی هر پاداش و مجازاتی که در قیامت وجود دارد نتیجه عملی در این دنیا است و پاداش یا مجازاتی وجود ندارد که در مقابل یک عمل دنیا نباشد. همانگونه که در قرآن کریم آمده است:
«إِنَّ الَّذِینَ یأْكُلُونَ أَمْوَالَ الْیتَامَى ظُلْمًا إِنَّمَا یأْكُلُونَ فِی بُطُونِهِمْ نَارًا وَسَیصْلَوْنَ سَعِیرًا[2]؛ کسانی که اموال یتیمان را به ظلم و ستم می‌خورند، (در حقیقت، ) تنها آتش می‌خورند؛ و بزودی در شعله‌های آتش (دوزخ) می‌سوزند! »
یعنی اگر در قیامت مجازاتی وجود دارد به نام خوردن آتش، این مجازات در مقابل خوردن مال یتیم (به ناحق) در دنیا است.
برای مطالعه بیشتر:
برای مطلب بالا می‌توان شواهد دیگری از آیات قرآن نیز آورد. به عنوان مثال: «فَمَن یعْمَلْ مِثْقَالَ ذَرَّةٍ خَیراً یرَهُ وَمَن یعْمَلْ مِثْقَالَ ذَرَّةٍ شَرّاً یره؛ پس هر كه هم وزن ذرهاى نیكى كند آن را خواهد دید و هر كه هم وزن ذرهاى بدى كند آن را خواهد دید»
و یا خداوند متعال در قرآن می‌فرماید: «یَومَ تَجِدُ كُلُّ نَفسٍ ما عَمِلَت مِن خَیرٍ مُحضَرًا وما عَمِلَت مِن سوءٍ تَوَدُّ لَو اَنَّ بَینَها وبَینَهُ اَمَدًا بَعیدًا ویُحَذِّرُكُمُ اللهُ نَفسَهُ واللهُ رَءُوفٌ بِالعِباد[3]؛ روزی که هر کس آنچه را از کار نیک انجام داده وآنچه را از کار زشت مرتکب شده می‌یابد و آرزو می‌کند که ای کاش میان او وکارهای زشتش زمان دور و درازی فاصله بود. و خدا شما را از [عذاب] خود بر حذر می‌دارد. و خدا به بندگان مهربان است.»
[1]ـ قیامت آیه 3-4.
[2]ـ نساء آیه 10.
[3] ـ آل عمران، آیه 30.