نمونه 10- مطلب درسی: مشتق تابع و کاربردهای آن
1401/09/29 14:11فصل قبل
تعریف مشتق: تابع y=f(x)
و نقطه a را در نظر می‌گیریم. اگر limx→af(x)-f(a)x-a
وجود داشته باشد آنگاه آن را مشتق تابع f در نقطه a می‌نامیم و با نماد f'(a)
نشان می‌دهیم. بنابراین اگر حد فوق وجود داشته باشد تابع f را مشتق‌پذیر در نقطه a می‌نامیم. برای اولین بار پیدا کردن خط مماس و سرعت یک جسم متحرک، منشاء پیدایش یکی از مفاهیم اساسی حسابان به نام مشتق شد. به طور کلی می‌توان گفت مشتق برای تعیین آهنگ تغییرات پدیده‌های مختلف در زندگی روزمره ما نقش اساسی و بدون انکار دارد. برای مثال در سدسازی، پل‌سازی و ساختمان‌سازی برای تعیین شیب، با مشتق سرو کار داریم و یا در فیزیک برای تعیین سرعت لحظه‌ای یا شتاب یک جسم متحرک با مشتق روبرو هستیم.
مثال: اگر بخواهیم منبعی به شکل استوانه از جنس آهن گالوانیزه بسازیم به طوری که گنجایش آن به میزان آب کر[1] باشد، حداقل مساحت ورق مورد نیاز چقدر است؟ اگر به شکل مکعب مستطیل باشد، چطور؟
پاسخ: می‌دانیم که حجم استوانه از فرمول V=πr2h
و سطح کل آن از فرمول S=2πr2+2πrh
به دست می‌آید که در آن h ارتفاع استوانه و r شعاع قاعده استوانه است. اکنون می‌خواهیم حداقل مساحت ورق مورد نیاز برای ساخت یک استوانه از جنس آهن گالوانیزه را بیابیم که حجم آن 48/0 متر مکعب است. داریم:
∘/48=πr2h
پس h=∘/48πr2
از طرفی مساحت ورق مورد نیاز برابر با مساحت ورق مورد نیاز برای ساخت بدنه مخزن به اضافه مساحت مورد نیاز برای ساخت دو طرف آن است و بنابراین تابع مساحت ورق به صورت زیر است:
f(r)=2πr2+2πrh=2πr2+2πr∘/48πr2=2πr2+∘/96r
پس:
f'(r)=4πr-∘/96r2=∘
بنابراین 4πr3=∘/96
پس r=∘/424
در این صورت h=∘/48πr2=∘/849
. حال برای یافتن مساحت ورق مورد نظر داریم:
f(r)=2πr2+2πrh=3/39136
.
مقدار ورق استفاده شده 3/39136
متر مربع است.
اگر بخواهیم منبع آب به شکل مکعب مستطیل بسازیم که گنجایش آن به میزان آب کر باشد، حداقل مساحت ورق به صورت زیر محاسبه می‌شود.
مساحت یک مکعب مستطیل با ابعاد قاعده a متر و ارتفاع b متر به صورت زیر است:
S=2a2+4ab
حجم این مکعب مستطیل عبارت است از:
V=a2b
چون حجم آب کر برابر با 48/0متر مکعب است، پس داریم
0.48=V=a2b b=0.48a2
با جایگذاری فرمول فوق در فرمول مساحت، مساحت مکعب به صورت تابعی از a به صورت زیر بدست می‌آید:
S=S(a)=2a2+4a×0/48a2=2a2+4×0/48a
حداقل مساحت با مشتق‌گیری از تابع مساحت تعیین می‌شود:
S'a=4a-4×0.48a2=0 4a=4×0.48a2 4a3=4×0.48
a=30.48=0.783
پس حداقل ورق مورد نیاز برابر است با
S(0/783)=2×0/7832+4×0/480/783=3/678
با مقایسه میزان ورق مورد نیاز در این حالت با حالت ساخت مخزن به صورت استوانه‌ای، مشخص می‌شود در این حالت میزان ورق بیشتری مورد نیاز است.
با کمی محاسبات می‌توان نشان داد اگر مخزن به صورت کروی ساخته شود، میزان ورق 2.965 مترمربع برای ساخت مخزن با گنجایش حجم آب کر کافی است.
تذکر: اگر این منبع کروی ساخته شود میزان ورق استفاده شده 965/2 متر مربع خواهد بود. (حجم کره برابر با 43πr3
و مساحت آن 4πr2
است). شعاع کره‌ای که به میزان آب کر گنجایش داشته باشد به صورت زیر محاسبه می‌شود:
43 πr3=0/48 r=0/485 بنابراین
حال میزان مساحت ورق مورد استفاده منبع کروی عبارت است از:
S=4πr2=4π(∘/485)2=2/96
مترمربع
[1]ـ تعریف آب کر: آب یا از آسمان می‌بارد یا از زمین (مخزن زیرزمینی) می‌جوشد و یا نه می‌بارد و نه می‌جوشد. به آبی که از آسمان می‌بارد «آب باران» گویند، و آبی که از زمین می‌جوشد «آب جاری» می‌گویند. آبی که از زمین نمی‌جوشد و از آسمان نمی‌بارد «آب راکد» است که اگر حجم آن تقریباً 480 لیتر باشد «آب کر» و اگر کمتر از آن باشد «آب قلیل» خواهد بود. بنابر این اگر مقدار وزن آب 480 كیلو گرم باشد، طبق نظر تمامی فقهاء، آب كر است. آب کرّ نزد مشهور فقیهان، مقدار آبی است که اگر در ظرفی که هر یک از درازا، پهنا و گودی آن سه وجب و نیم معمولی است بریزند آن را پر کند. و وزن آن بی اشکال 1200رطل عراقی است ولی در تبدیل مقدار به اوزان کنونی در بین دانشمندان اختلاف نظر دیده می‌شود، بنابر نظر مشهور، مقدار کر 91/217 – 377 (تقریبا 42/377) کیلوگرم می‌باشد، ولی ظاهرا مقدار کر بیشتر از این مقدار است، برخی از بزرگان مقدار آن را تقریبا 77/462 کیلوگرم دانسته‌اند و برخی دیگر 5/478 کیلوگرم. بنابراین مقدار وزن آب 480 کیلوگرم باشد، طبق نظر تمامی دانشمندان آب کر است، حجم مقدار آب در آب مقطر در دمای چهار درجه، 48/0 متر مکعب ودر دمای صد درجه، حدود 5/0 متر مکعب ودر سایر دماها بین این دو مقدار می‌باشد و در آب غیر مقطر از مقدارهای ذکر شده کمتر است. (توضیح المسائل مراجع، ج1، ص46).